Nested square roots 答え/ある種の積分

 ご無沙汰しております。本業の筋トレ研究が忙しくて死にそうになっていました。

 遅くなりましたが前回の問題:

”\(a_n=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots\sqrt{1+(n+1)}}}}}\)

に対し、$\lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ”

の解答を書きたいと思います。


 先に答えを言ってしまうと、極限値は$3$です。


\begin{align}
3&=\sqrt{1+8}\\
&=\sqrt{1+2\sqrt{1+15}}\\
&=\cdots=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}}}}
\end{align}

なので、これと比べることを考えます。上の式より、$a_n\leq3$は明らかですが、下からの評価が少し難しい:

$\alpha\geq1,\beta\geq0$で成り立つ式$\sqrt\alpha\sqrt{1+\beta}\geq\sqrt{1+\alpha\beta}$(両辺二乗すれば示せる)を用いて、


\begin{align}
3&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}}}}\\
&\leq\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots n\sqrt{n+3}\sqrt{1+(n+1)}}}}\\
&\leq\cdots\leq(n+3)^{2^{-n}}\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots n\sqrt{1+(n+1)}}}}\\
&=(n+3)^{2^{-n}}a_n
\end{align}

これらにより、$3\cdot(n+3)^{-2^{-n}}\leq a_n\leq3$.


\begin{align}
\therefore\lim_{n\to\infty}a_n=3
\end{align}


 全く同様にして、以下のより一般的な式を示すことができます:


\begin{align}
a_n&=\sqrt{b^2+1\cdot\sqrt{b^2+(1+b)\sqrt{b^2+\cdots[(n-1)b+1]\sqrt{b^2+nb+1}}}}\\
&\to b+1\quad(n\to\infty)
\end{align}

(出展:Nested radical - Wikipedia

$b=2$とした式


\begin{align}
\sqrt{4+\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+\cdots\sqrt{4+(2n-1)\sqrt{4+(2n+1)}}}}}}\quad\to3\quad(n\to\infty)
\end{align}

は、過去に近畿大学数学コンテスト(第15回、2012年)
http://www.math.kindai.ac.jp/assets/files/mathcon/MC15mondai.pdf
においても出題されています。

 このブログの最初のテーマとして上のNested rootsに関する問題を扱ったのは、上記Wikipedia記事内の証明(?)が厳密さに欠けていて不満だったからでもありますが、何より上記近大数コンに出場して上の問題が解けずに入賞を逃し、非常に悔しい思いをしたからというのもあります。昨年やっと優秀賞を獲ったので今年こそは最優秀賞が欲しい。


 まあ余談はそのくらいにして、次の問題に移りたいと思います:

問題;次の積分値をそれぞれ求めよ。

\begin{align}
(1)&\quad\int_0^\infty\exp\left(-x^2-\frac1{x^2}\right)dx\\
(2)&\quad\int_{-\infty}^\infty\cfrac1{1+\left(x-\cfrac1x\right)^2}dx\\
(3)&\quad\int_{-\infty}^\infty\cfrac1{1+\left(x-\cfrac1x-\cfrac2{x-1}\right)^2}dx
\end{align}

答えは次の記事に書きます。