Nested square roots 答え/ある種の積分
ご無沙汰しております。本業の筋トレ研究が忙しくて死にそうになっていました。
遅くなりましたが前回の問題:
”\(a_n=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots\sqrt{1+(n+1)}}}}}\)
に対し、$\lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ”
の解答を書きたいと思います。
先に答えを言ってしまうと、極限値は$3$です。
なので、これと比べることを考えます。上の式より、$a_n\leq3$は明らかですが、下からの評価が少し難しい:
$\alpha\geq1,\beta\geq0$で成り立つ式$\sqrt\alpha\sqrt{1+\beta}\geq\sqrt{1+\alpha\beta}$(両辺二乗すれば示せる)を用いて、
これらにより、$3\cdot(n+3)^{-2^{-n}}\leq a_n\leq3$.
全く同様にして、以下のより一般的な式を示すことができます:
(出展:Nested radical - Wikipedia)
$b=2$とした式
は、過去に近畿大学数学コンテスト(第15回、2012年)
http://www.math.kindai.ac.jp/assets/files/mathcon/MC15mondai.pdf
においても出題されています。
このブログの最初のテーマとして上のNested rootsに関する問題を扱ったのは、上記Wikipedia記事内の証明(?)が厳密さに欠けていて不満だったからでもありますが、何より上記近大数コンに出場して上の問題が解けずに入賞を逃し、非常に悔しい思いをしたからというのもあります。昨年やっと優秀賞を獲ったので今年こそは最優秀賞が欲しい。
まあ余談はそのくらいにして、次の問題に移りたいと思います:
問題;次の積分値をそれぞれ求めよ。
答えは次の記事に書きます。