Nested square roots 答え/ある種の積分

 ご無沙汰しております。本業の筋トレ研究が忙しくて死にそうになっていました。

 遅くなりましたが前回の問題:

”\(a_n=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots\sqrt{1+(n+1)}}}}}\)

に対し、$\lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ”

の解答を書きたいと思います。


 先に答えを言ってしまうと、極限値は$3$です。


\begin{align}
3&=\sqrt{1+8}\\
&=\sqrt{1+2\sqrt{1+15}}\\
&=\cdots=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}}}}
\end{align}

なので、これと比べることを考えます。上の式より、$a_n\leq3$は明らかですが、下からの評価が少し難しい:

$\alpha\geq1,\beta\geq0$で成り立つ式$\sqrt\alpha\sqrt{1+\beta}\geq\sqrt{1+\alpha\beta}$(両辺二乗すれば示せる)を用いて、


\begin{align}
3&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}}}}\\
&\leq\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots n\sqrt{n+3}\sqrt{1+(n+1)}}}}\\
&\leq\cdots\leq(n+3)^{2^{-n}}\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots n\sqrt{1+(n+1)}}}}\\
&=(n+3)^{2^{-n}}a_n
\end{align}

これらにより、$3\cdot(n+3)^{-2^{-n}}\leq a_n\leq3$.


\begin{align}
\therefore\lim_{n\to\infty}a_n=3
\end{align}


 全く同様にして、以下のより一般的な式を示すことができます:


\begin{align}
a_n&=\sqrt{b^2+1\cdot\sqrt{b^2+(1+b)\sqrt{b^2+\cdots[(n-1)b+1]\sqrt{b^2+nb+1}}}}\\
&\to b+1\quad(n\to\infty)
\end{align}

(出展:Nested radical - Wikipedia

$b=2$とした式


\begin{align}
\sqrt{4+\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+\cdots\sqrt{4+(2n-1)\sqrt{4+(2n+1)}}}}}}\quad\to3\quad(n\to\infty)
\end{align}

は、過去に近畿大学数学コンテスト(第15回、2012年)
http://www.math.kindai.ac.jp/assets/files/mathcon/MC15mondai.pdf
においても出題されています。

 このブログの最初のテーマとして上のNested rootsに関する問題を扱ったのは、上記Wikipedia記事内の証明(?)が厳密さに欠けていて不満だったからでもありますが、何より上記近大数コンに出場して上の問題が解けずに入賞を逃し、非常に悔しい思いをしたからというのもあります。昨年やっと優秀賞を獲ったので今年こそは最優秀賞が欲しい。


 まあ余談はそのくらいにして、次の問題に移りたいと思います:

問題;次の積分値をそれぞれ求めよ。

\begin{align}
(1)&\quad\int_0^\infty\exp\left(-x^2-\frac1{x^2}\right)dx\\
(2)&\quad\int_{-\infty}^\infty\cfrac1{1+\left(x-\cfrac1x\right)^2}dx\\
(3)&\quad\int_{-\infty}^\infty\cfrac1{1+\left(x-\cfrac1x-\cfrac2{x-1}\right)^2}dx
\end{align}

答えは次の記事に書きます。

挨拶と自己紹介、nested square roots

 (ブログでは、もしくは完全に)はじめまして。Grand Antiprismと申します。お前などGrandの器じゃないという方、単純に長いという方は、短くAntiprismとお呼びください。

 

 最近趣味で数学系の集まりに参加する機会があって、そこで出会った人たちの多くがブログを書いているようだったので僕も始めることにしました。数学のほか、理論物理やプログラミング等について書いていきたいと考えています。根本的な間違いはもちろん誤字、脱字、衍字の類は遠慮なくご指摘ください。

 

 挨拶はこれくらいで終わりにして、最近某界隈で無限連分数やinfinitely nested square roots(無限多重根号)が流行っているようなので、ブログに数式を描く練習も兼ねて(おそらく)そこで出ていなかった問題を一つ取り上げたいと思いmath.

 

 

問題.

 数列$\{a_n\}$を、

\(a_n=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots\sqrt{1+(n+1)}}}}}\)

と定義する。$\lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ。*1

 

 

 答えは次の記事に書きます。

*1:出展;有名問題